已知向量數(shù)學公式=（x2-1，-1），數(shù)學公式=（x，y），當|x|＜數(shù)學公式時，有數(shù)學公式⊥數(shù)學公式；當|x|≥數(shù)學公式時，數(shù)學公式∥數(shù)學公式．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）若對|x|≥數(shù)學公式，都有f（x）≤m，求實數(shù)m的最小值．

解：（1）由題意，當|x|＜時，（x2-1）x-y=0，即y=x3-x；
當|x|≥時，（x2-1）y+x=0，即
∴y=f（x）=；
（2）當|x|＜時，y′=3x2-1＜0，可得；當|x|≥時，＞0恒成立，
∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間是；
（3）由（2）知，當x≥時，函數(shù)單調遞增，且f（x）∈[-，0）；當x≤-時，函數(shù)單調遞增，且f（x）∈（0，]，
∴函數(shù)具有最小值
∴m≥-
∴m的最小值．
分析：（1）根據當|x|＜時，有⊥；當|x|≥時，∥，分別利用相應的運算，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用導數(shù)，確定其小于0，即可得到函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（3）利用函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的值域，可得函數(shù)的最小值，從而可得m的最小值．
點評：本題考查向量知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調性是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
)，cos
x
2
)，
b
=(cos(
x
2
+
π
12
)，-cos
x
2
)，x∈[
π
2
，π]，函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函數(shù)f（x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量
c
=（m，n）（0＜m＜π）平移，使得平移后的圖象關于原點對稱，求向量
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(ex+
x
2
，-x)，
b
=(1，t)，若函數(shù)f(x)=
a
•
b
在區(qū)間（-1，1）上存在單調遞增區(qū)間，則t的取值范圍是
（-∞，e+
1
2
）
（-∞，e+
1
2
）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（x-1，1），
b
=（1，y），且
a
⊥
b
，則x2+y2的最小值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（x2-1，-1），
b
=（x，y），當|x|＜
2
時，有
a
⊥
b
；當|x|≥
2
時，
a
∥
b
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）若對|x|≥
2
，都有f（x）≤m，求實數(shù)m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
)，  cos
x
2
)，
b
=(cos(
x
2
+
π
12
)，  -cos
x
2
)，x∈[
π
2
，  π]，函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函數(shù)f（x）的值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，且x0∈（-2，-1），求x0的值．

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