Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，若該橢圓上一點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF₂|=|F₁F₂|，且以原點(diǎn)O為圓心，以b為半徑的圓與直線(xiàn)PF₁有公共點(diǎn)，則該橢圓離心率e的取值范圍是______．

Answer 1

∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∴|PF₁|=2a-2c
過(guò)點(diǎn)F₂作F₂D⊥PF₁于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PF₁于E點(diǎn)，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是等腰三角形，可得D是PF₁的中點(diǎn)，DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|DF₂|=

|F1F2|2-|DF1|2

=

4c2-(a-c)2

=

3c2+2ac-a2

．
∵△DF₁F₂中，OE是中位線(xiàn)，∴|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．
又∵以原點(diǎn)O為圓心，以b為半徑的圓與直線(xiàn)PF₁有公共點(diǎn)，
∴原點(diǎn)O到直線(xiàn)PF₁的距離小于b，即|OE|≤b，得

1

2

3c2+2ac-a2

≤b，
化簡(jiǎn)得3c²+2ac-a²≤4（a²-c²），即7c²+2ac-5a²≤0，兩邊都除以a²得7e²+2e-5≤0，解之得-1≤e≤

5

7

．
結(jié)合橢圓的離心率e∈（0，1），可得0＜e≤

5

7

．
又∵等腰△PF₁F₂中，|PF₂|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=

c

a

＞

1

3

．
綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是(

1

3

，

5

7

]．
故答案為：(

1

3

，

5

7

]