設(shè)向量
a
=(cos
3θ
2
，  sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，  -sin
θ
2
)，其中θ∈[0，  
π
3
]．
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式求出
a
•
b
，利用向量的坐標運算和向量模的平方等于向量的平方求出
a
•
b
|
a
+
b
|
的值
（2）將已知等式平方，得到關(guān)于k，θ的等式，利用三角函數(shù)的有界性，列出關(guān)于k的不等式，解不等式求出k的范圍．
解答：解：（1）
a
•
b
=(cos
3θ
2
，  sin
3θ
2
)•(cos
θ
2
，  -sin
θ
2
)=cos
3θ
2
cos
θ
2
-sin
3θ
2
sin
θ
2
=cos2θ．
|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=2cosθ
于是
a
•
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
=cosθ-
1
2cosθ
．
因為θ∈[0，  
π
3
]，所以cosθ∈[
1
2
，  1]．
故當cosθ=
1
2
即θ=
π
3
時，
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最小值-
1
2
；當cosθ=1即θ=0時，
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最大值
1
2
．
（2）由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|得
|k
a
+
b
|2=3|
a
-k
b
|2?k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ?cos2θ=
k2+1
4k
．
因為θ∈[0，  
π
3
]，所以-
1
2
≤cos2θ≤1．
不等式-
1
2
≤
k2+1
4k
≤1?
(k-1)2
4k
≥0   
k2-4k+1
4k
≤0

解得2-
3
≤k≤2+
3
或k=-1，
故實數(shù)k的取值范圍是[2-
3
，  2+
3
]∪{-1}．
點評：解決向量的數(shù)量積問題：要考慮數(shù)量積的坐標形式的公式及向量的模、夾角形式的公式；解決有關(guān)向量的模的問題，一般將向量的模平方：利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的運算法則解決．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)向量
a
=(cos
3θ
2
，  sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，  -sin
θ
2
)，其中θ∈[0，  
π
3
]．
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，求實數(shù)k的取值范圍．

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