Question

觀察下列等式（x²+x+1）⁰=1，（x²+x+1）¹=x²+x+1，（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1…
可以推測(cè)（x²+x+1）⁵展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為______．第四、五、六項(xiàng)系數(shù)的和是______．

Answer 1

觀察所給的等式
（x²+x+1）⁰=1中，各項(xiàng)系數(shù)的和為1=3⁰，
（x²+x+1）¹=x²+x+1中，各項(xiàng)系數(shù)的和為3=3¹，
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1中，各項(xiàng)系數(shù)的和為9=3²，
…
可以推測(cè)（x²+x+1）⁵展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3⁵，
在（x²+x+1）⁵展開式中，按x的降次排列，共11項(xiàng)，
則展開式的第四項(xiàng)是含x⁷的項(xiàng)；其構(gòu)成是5個(gè)（x²+x+1）中3個(gè)出x²，1個(gè)出x，1個(gè)出1；或2個(gè)出x²，3個(gè)多項(xiàng)式出x，其系數(shù)為C₅³C₃¹+C₅²=40，
展開式的第五項(xiàng)是含x⁶的項(xiàng)；其構(gòu)成是5個(gè)多項(xiàng)式3個(gè)出x²，其它都出1；5個(gè)多項(xiàng)式2個(gè)出x²，2個(gè)出x，其它出1；
5個(gè)多項(xiàng)式1個(gè)出x²，4個(gè)出x，其系數(shù)為C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45，
同理：展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
則第四、五、六項(xiàng)系數(shù)的和是40+45+51=136．
故答案為3⁵，136．