Question

有4個(gè)不同的小球，4個(gè)不同的盒子，把小球全部放入盒內(nèi)．
（1）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)小球，有多少種不同放法？
（2）恰有兩個(gè)盒內(nèi)不放小球，有多少種不同放法？

Answer 1

分析：（1）先選兩個(gè)元素作為一組再排列，恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）先分類，把四個(gè)小球先分成兩組，每組兩個(gè)小球，或者是把四個(gè)小球分成兩組，每組一個(gè)和三個(gè)，分完小組后再進(jìn)行排列，從4個(gè)盒中選兩個(gè)位置排列，得到結(jié)果．

解答：解：（1）可分三個(gè)步驟完成這件事情：第一步，從4個(gè)小球中取兩個(gè)小球，有C₄²種方法；
第二步，將取出的兩個(gè)小球放入一個(gè)盒內(nèi)，有C₄¹種方法；
第三步，在剩下的三個(gè)盒子中選兩個(gè)放剩下的兩個(gè)小球，有A₃²種方法；
由分步計(jì)數(shù)原理，共有C₄²•C₄¹•A₃²=144種放法．
（2）完成這件事情有兩類辦法：第一類，一個(gè)盒子放3個(gè)小球，一個(gè)盒子放1個(gè)小球，兩個(gè)盒子不放小球有C₄¹•C₄³•C₃¹=48種方法；…（9分）
第二類，有兩個(gè)盒子各放2個(gè)小球，另兩個(gè)盒子不放小球有C₄²•C₄²=36種方法；…（12分）
由分類計(jì)數(shù)原理，共有48+36=84種放法．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分步、分類計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的過(guò)程中注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列