Question

（2012•南京二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，直線(xiàn)PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

Answer 1

分析：（1）利用以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+2=0相切，可得b的值，利用離心率為

3

2

，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（-x₀，y₀），求出直線(xiàn)PM、QN的方程，求得x₀，y₀的值，代入橢圓方程，整理可得結(jié)論．

解答：（1）解：由題意，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+2=0相切，∴b=

2

2

=

2

．
因?yàn)殡x心率e=

c

a

=

3

2

，所以

b

a

=

1

2

，所以a=2

2

．     
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（-x₀，y₀），則直線(xiàn)PM的方程為y=

y0-1

x0

x+1，①
直線(xiàn)QN的方程為y=

y0-2

-x0

x+2．   ②…（8分）
設(shè)T（x，y），聯(lián)立①②解得x₀=

x

2y-3

，y₀=

3y-4

2y-3

．            …（11分）
因?yàn)?span id="slbicii" class="MathJye">

x02

8

+

y02

2

=1，所以

1

8

（

x

2y-3

）²+

1

2

（

3y-4

2y-3

）²=1．
整理得

x2

8

+

(3y-4)2

2

=（2y-3）²，所以

x2

8

+

9y2

2

-12y+8=4y²-12y+9，即

x2

8

+

y2

2

=1．
所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．