Question

已知R上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（x）=x，則f（3）+f（-7.5）=

 

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Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性，結(jié)合條件推出-f（x）=f（-x）=f（x+1），f（x）=f（x+2），由此求得f（3）和f（-7.5）的值，即可求得f（3）+f（-7.5）的值．

解答：解：R上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，f（x+1）=-f（x），再由f（-x）=-f（x），可得f（-x）=f（x+1），
從而可得 f（x）=f（x+2），故函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，故f（0）=f（2）=0．
∴f（3）=-f（3+1）=-f（4）=-f（2）=0，
f（-7.5）=f（-7.5+8）=f（0.5）=0.5，
∴f（3）+f（-7.5）=0+0.5=0.5，
故答案為 0.5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性和奇偶性的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)的值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．