Question

如圖，P―ABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=

（1）求證：PD⊥平面ABC；

（2）求二面角P―AB―C的大小；

（3）求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.

Answer 1

方法一：（1）證明：連結(jié)BD，∵D分別是AC的中點(diǎn)，PA=PC=

∴PD⊥AC，

∵AC=2，AB=，BC=

∴AB²+BC²=AC²，

∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.

∴BD=，

∵PD²=PA²―AD²=3，PB

∴PD²+BD²=PB²，

∴PD⊥BD，

∵ACBD=D

∴PD⊥平面ABC.

（2）解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，由E為AB的中點(diǎn)知DE//BC，

∵AB⊥BC，∴AB⊥DE，

∵DE是直線PE的底面ABC上的射景

∴PE⊥AB    ∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角，

在△PED中，DE=∠=90°，

∴tan∠PDE=

∴二面角P―AB―C的大小是

（3）解：設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h.

∵V_P―EBC=V_E―PBC，

∴

在△PBC中，PB=PC=，BC=

而PD=

∴

∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為

方法二：（1）同方法一：

（2）解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DF為y軸，DP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則D（0，0，0），P（0，0，），E（），B=（）

設(shè)上平面PAB的一個(gè)法向量，則由

這時(shí)，

顯然，是平面ABC的一個(gè)法向量.

∴

∴二面角P―AB―C的大小是

（3）解：

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量，由

得

令是平面PBC的一個(gè)法向量

又

∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為