Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為a₁=，公比q=的等比數(shù)列．設（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，可求得a_n=，從而可求得b_n=3n-2；利用等差數(shù)列的定義判斷即可；
（Ⅱ）利用裂項法可求得c_n=（-），從而可求得數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．
解答：證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是首項為a₁=，公比q=的等比數(shù)列，
∴a_n=•=，
∵b_n+2=3a_n=3=3n（n∈N^*），
∴b_n=3n-2；
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，3為公差的成等差數(shù)列．
（Ⅱ）∵c_n===（-），
∵數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=[（1-）+（-）+…+（-）]
=（1-）
=．
點評：本題考查等差關系的確定及數(shù)列的求和，突出考查對數(shù)的運算性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的判定，考查裂項法求和，屬于中檔題．