Question

如圖，已知菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，點H、G分別是線段EF、BC的中點．
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE；
（2）點M在直線EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH與平面ACM所成角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得△AEF是等邊三角形，AH⊥平面ABCD，AH⊥BC，AH⊥平面ABCD，AH⊥BC，由此能證明平面AHC⊥平面BCE．
（2）分別以AD，AB，AH所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ACH與平面ACM所成角的余弦值．

解答： （1）證明：在菱形ABEF中，
∵∠ABE=60°，∴△AEF是等邊三角形，
又H是線段EF的中點，∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=4，
∠BAD=∠CDA=90°，得到AC=BC=2

2

，
從而AC²+BC²=AB²，∴AC⊥CD，
∴CB⊥平面AHC，又BC?平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．
（2）解：由（1）知AH⊥平面ABCD，如圖，分別以AD，AB，AH所在直線為x軸，
y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），
E（0，2，2

3

），F(xiàn)（0，-2，2

3

），H（0，0，2

3

），G（1，3，0），
設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，m，2

3

），則

GM

，

AD

，

AF

共面，
∴存在實數(shù)λ，μ，使得：

CM

=λ

AD

+μ

AF

，即(-1，m-3，2

3

)=(2λ，0，0)+(0，-2μ，2

3

μ)，
∴2λ=-1，m-3=-2μ，2

3

=2

3

μ，
解得m=1，∴M（0，1，2

3

），
由（1）知平面AHC的法向量是

BC

=（2，-2，0），
設(shè)平面ACM的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =0 n • AM =0

，∴

2x+2y=0 y+2 3 z=0

，
令z=

3

，則y=-6，x=6，即

n

=（6，-6，

3

），
∴cos＜

n

，

BC

＞=

24

2 2 ×5 3

=

2

5

6

．
∴平面ACH與平面ACM所成角的余弦值為

2 6

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查平面與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．