Question

數(shù)列{a_n}，2S_n=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹，n∈N⁺且a₁，a₂+5，a₃為等差數(shù)列
（1）求a₁，a_n；
（2）求證一切正整數(shù)n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2S_n=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹，n∈N⁺，取n=1，2，可得2a₁=a₂-3，2（a₁+a₂）=a₃-7．由a₁，a₂+5，a₃為等差數(shù)列，可得2（a₂+5）=a₁+a₃．聯(lián)立解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an+1-2n，k可得2a_n=2S_n-2S_n-1，an+1+2n+1=3(an+2n)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）當(dāng)n≥4時(shí)，

1

an

=

1

3n-2n

＜

1

3×2n

，利用“放縮法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）解：∵2S_n=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹，n∈N⁺，
取n=1，2，可得2a₁=a₂-3，2（a₁+a₂）=a₃-7．
∵a₁，a₂+5，a₃為等差數(shù)列，
∴2（a₂+5）=a₁+a₃．
聯(lián)立

2a1=a2-3 2(a1+a2)=a3-7 2(a2+5)=a1+a3

，解得

a1=1 a2=5 a3=19

．
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an+1-2n，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹-(an+1-2n)，
化為an+1=3an+2n，
變形為an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3．
∴an+2n=3n，
∴an=3n-2n．
（2）證明：∵當(dāng)n≥4時(shí)，

1

an

=

1

3n-2n

＜

1

3×2n

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

5

+

1

19

+

1 3 × 1 16 [1-( 1 2 )n-3]

1- 1 2

＜1+

1

5

+

1

19

+

1

24

＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．