分析 (Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo),分類討論n的取值,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值情況即可判斷;
(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,比較自變量的大�。�
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=(a-x)ex-ex=(a-x-1)ex,令f′(x)=0
解得:x=a-1,
當(dāng)a-1≤0時,f′(x)≤0,在x>0時恒成立,
∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞減;
∴f(x)<f(0)=a-1≤0,即當(dāng)x>0時,f(x)<0,成立,
當(dāng)a-1>0時,函數(shù)f(x)在(0,a-1)上單調(diào)遞減增,在(a-1,+∞)單調(diào)遞減;
∴?x0=a-1>0,f(x0)>f(0)=a-1>0,
與x>0時,f(x)<0矛盾,以實數(shù)a的最大值為1;
(Ⅱ)證明:xn+1>12n,
當(dāng)n=1時,ex2=ex1−1x1=e-1>√e,
∴x2>12,顯然成立,
假設(shè)當(dāng)n=k時,(k∈N*),xk+1>12k,
exk+2=g(xk+1)>g(12k),下證g(12k)≥e12k+1=e12•12k,
構(gòu)造函數(shù)h(x)=x(g(x)-ex2),
則h′(x)=ex-(1+x2)ex2=ex2[ex2-(1+x2)]>0,
∴h(x)在(0,+∞)是增函數(shù),
h(12k)>0,
∴g(12k)>1e2k+1,
∴exk+1>1e2k+1,xk+1>12k+1,
由數(shù)學(xué)歸納法可知:對于正整數(shù)n,xn>12n,
由(1)可知:a=1時,x>0,f(x)<0,
f(xn)=(1-xn)exn−1<0,xn•exn>exn-1=xn•exn+1,
∴exn>en+1,即xn+1<xn,
∴xn>xn+1>12n(n∈N∗).
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,利用構(gòu)造法即數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立,考查轉(zhuǎn)化思想,考查分析問題及解決問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4個 | B. | 3個 | C. | 2個 | D. | 1個 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com