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7.設(shè)f(x)=(a-x)ex-1.
(Ⅰ)當(dāng)x>0時,f(x)<0,求實數(shù)a的最大值;
(Ⅱ)設(shè)gx=ex1x,x1=1,exn+1=gxnnN,證明xnxn+112nnN

分析 (Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo),分類討論n的取值,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值情況即可判斷;
(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,比較自變量的大�。�

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=(a-x)ex-ex=(a-x-1)ex,令f′(x)=0
解得:x=a-1,
當(dāng)a-1≤0時,f′(x)≤0,在x>0時恒成立,
∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞減;
∴f(x)<f(0)=a-1≤0,即當(dāng)x>0時,f(x)<0,成立,
當(dāng)a-1>0時,函數(shù)f(x)在(0,a-1)上單調(diào)遞減增,在(a-1,+∞)單調(diào)遞減;
∴?x0=a-1>0,f(x0)>f(0)=a-1>0,
與x>0時,f(x)<0矛盾,以實數(shù)a的最大值為1;
(Ⅱ)證明:xn+112n
當(dāng)n=1時,ex2=ex11x1=e-1>e,
∴x212,顯然成立,
假設(shè)當(dāng)n=k時,(k∈N*),xk+112k,
exk+2=g(xk+1)>g(12k),下證g(12k)≥e12k+1=e1212k,
構(gòu)造函數(shù)h(x)=x(g(x)-ex2),
則h′(x)=ex-(1+x2ex2=ex2[ex2-(1+x2)]>0,
∴h(x)在(0,+∞)是增函數(shù),
h(12k)>0,
∴g(12k)>1e2k+1
exk+11e2k+1,xk+112k+1,
由數(shù)學(xué)歸納法可知:對于正整數(shù)n,xn12n,
由(1)可知:a=1時,x>0,f(x)<0,
f(xn)=(1-xnexn1<0,xnexnexn-1=xnexn+1
exn>en+1,即xn+1<xn,
xnxn+112nnN

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,利用構(gòu)造法即數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立,考查轉(zhuǎn)化思想,考查分析問題及解決問題的能力,屬于中檔題.

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