Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點(diǎn)．
（1）求二面角B₁-BD-A₁的余弦值；
（2）求點(diǎn)C₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，由已知條件得AO⊥BC，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B₁-BD-A₁的余弦值．
（2）由

AB1

=（1，2，-

3

）為平面A₁BD的法向量，

DC1

=（0，1，0），利用向量法能求出C₁點(diǎn)到A₁BD的距．

解答： 解：（1）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中點(diǎn)O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，

3

），
A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），C₁（-1，2，0）
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)．
∴

AB1

•

BD

=0，

AB1

•

BA1

=0
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，∴AB₁⊥平面BDA₁．
即

AB1

=（1，2，-

3

）為平面BDA₁的法向量．
取平面B₁BD的一個(gè)法向量為

n

=(0 ，0 ，

3

)，
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

|n • AB1 |

=

-3

2 2 • 3

=-

6

4

．
∴二面角B₁-BD-A₁的余弦值為

6

4

．
（2）∵

AB1

=（1，2，-

3

）為平面A₁BD的法向量，

DC1

=（0，1，0）
∴C₁點(diǎn)到平面A₁BD的距離為：
d=|

DC1 • AB1

|AB1|

|=|

(0，1，0)•(1，2，- 3 )

1+4+3

|=

2

2 2

=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．