Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．
（1）若f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）若存在唯一整數x0 ， 使得f（x0）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）， ，

要使f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，只需f'（x）≥0，

即 在（1，+∞）上恒成立即可，

易知 在（1，+∞）上單調遞增，

所以只需a≤ymin即可，

易知當x=1時，y取最小值， ，

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．

（2）解：不等式f（x0）＜0即（x0﹣2）lnx0＜ax0﹣1，

令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，

則 ，g'（x）在（0，+∞）上單調遞增，

而g'（1）=﹣1＜0，g'（2）=ln2＞0，

∴存在實數m∈（1，2），使得g'（m）=0，

當x∈（1，m）時，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上單調遞減；

當x∈（m，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上單調遞增，

∴g（x）min=g（m）．g（1）=g（2）=0，

畫出函數g（x）和h（x）的大致圖象如下，

h（x）的圖象是過定點C（0，﹣1）的直線，

由圖可知若存在唯一整數x0，使得f（x0）＜0成立，

則需kBC＜a≤min{kAC，kDC}，

而 ，∴kAC＞kDC．

∵ ，∴ ．

于是實數a的取值范圍是 ．

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為 在（1，+∞）上恒成立即可，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（2）令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，根據函數的單調性結合函數的圖象求出a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，/span>比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．