【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)當a≥1時,求f(x)在[0,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值;
(2)對任意的正實數(shù)a,問:曲線y=f(x)上是否存在兩點P,Q,使得△POQ(O為坐標原點)是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上?
【答案】
(1)解:∵f(x)= ,
當0≤x<1時,f′(x)=﹣3x2+2x=﹣3x(x﹣ ),
令f'(x)>0,解得:0≤x< ,
令f′(x)<0,解得: <x<1,
故f(x)在[0, )遞增,在(
,1)遞減,
而f( )=
,
∴f(x)在區(qū)間[0,1)上的最大值為 ,
1≤x<e時,f(x)=alnx,f′(x)= >0,
f(x)在[1,e]遞增,f(x)max=f(e)=a≥1,
綜上f(x)在[0,e]的最大值是a
(2)解:曲線y=f(x)上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P,Q只能在y軸的兩側,
不妨設P(t,f(t))(t>0),則Q(﹣t,t3+t2),顯然t≠1,
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形,
∴
=0,即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0.(1)
是否存在兩點P、Q等價于方程(1)是否有解.
若0<t<1,則f(t)=﹣t3+t2,代入(1)式得,
﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0,即t4﹣t2+1=0,
而此方程無實數(shù)解,因此t>1.
∴f(t)=alnt,代入(1)式得,﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,
即 =(t+1)lnt. (*),
考察函數(shù)在h(x)=(x+1)lnx(x≥1),
則h′(x)=lnx+ +1>0,
∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,∵t>1,∴h(t)>h(1)=0,
當t→+∞時,h(t)→+∞,∴h(t)的取值范圍是(0,+∞).
∴對于a>0,方程(*)總有解,即方程(1)總有解.
因此對任意給定的正實數(shù)a,曲線y=f(x)上總存在兩點P、Q,
使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上
【解析】(1)當0≤x<e時,求導函數(shù),可得f(x)在區(qū)間[0,e]上的最大值;(2)假設曲線y=f(x)上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在y軸兩側.設P、Q的坐標,由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)a,曲線y=f(x)上存在兩點P、Q,使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象大致為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是雙曲線
上一點,
,
分別是雙曲線左、右兩個焦點,若
,則
等于( )
A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 以上答案均不對
【答案】B
【解析】根據(jù)雙曲線的定義得到 根據(jù)雙曲線的焦半徑的范圍得到
故結果為17.
故答案為:B。
【題型】單選題
【結束】
10
【題目】某中學學生會為了調查愛好游泳運動與性別是否有關,通過隨機詢問110名性別不同的高中生是否愛好游泳運動得到如下的列聯(lián)表:由并參照附表,得到的正確結論是( )
A. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“愛好游泳運動與性別有關”
B. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“愛好游泳運動與性別無關”
C. 有的把握認為“愛好游泳運動與性別有關”
D. 有的把握認為“愛好游泳運動與性別無關”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a>0,a≠1,m≠﹣1),是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù).
(I)求f(0)的值和實數(shù)m的值;
(II)當m=1時,判斷函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上的單調性,并給出證明;
(III)若且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】最新公布的《道路交通安全法》和《道路交通安全法實施條例》對車速、安全車距以及影響駕駛人反應快慢等因素均有詳細規(guī)定,這些規(guī)定說到底主要與剎車距離有關,剎車距離是指從駕駛員發(fā)現(xiàn)障礙到制動車輛,最后完全停止所行駛的距離,即:剎車距離=反應距離+制動距離,反應距離=反應時間×速率,制動距離與速率的平方成正比,某反應時間為的駕駛員以
的速率行駛,遇緊急情況,汽車的剎車距離為
.
()試將剎車距離
表示為速率
的函數(shù).
()若該駕駛員駕駛汽車在限速為
的公路上行駛,遇緊急情況,汽車的剎車距離為
,試問該車是否超速?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
是邊長為2的菱形,
,
為平面
外一點,且
底面
上的射影
為四邊形
的中心,
,
為
上一點,
.
(Ⅰ)若為
上一點,且
,求證:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖放置的邊長為2的正三角形ABC沿x軸滾動,記滾動過程中頂點A的橫、縱坐標分別為和
,且
是
在映射
作用下的象,則下列說法中:
① 映射的值域是
;
② 映射不是一個函數(shù);
③ 映射是函數(shù),且是偶函數(shù);
④ 映射是函數(shù),且單增區(qū)間為
,
其中正確說法的序號是___________.
說明:“正三角形ABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點B為中心順時針旋轉,當頂點C落在x軸上時,再以頂點C為中心順時針旋轉,如此繼續(xù).類似地,正三角形ABC可以沿x軸負方向滾動.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四棱錐中,底面
為直角梯形,
,
,
,
,
,且平面
平面
.
(1)求證:;
(2)在線段上是否存在一點
,使二面角
的大小為
,若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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