【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)當a≥1時,求f(x)在[0,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值;
(2)對任意的正實數(shù)a,問:曲線y=f(x)上是否存在兩點P,Q,使得△POQ(O為坐標原點)是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上?

【答案】
(1)解:∵f(x)=

當0≤x<1時,f′(x)=﹣3x2+2x=﹣3x(x﹣ ),

令f'(x)>0,解得:0≤x< ,

令f′(x)<0,解得: <x<1,

故f(x)在[0, )遞增,在( ,1)遞減,

而f( )= ,

∴f(x)在區(qū)間[0,1)上的最大值為

1≤x<e時,f(x)=alnx,f′(x)= >0,

f(x)在[1,e]遞增,f(x)max=f(e)=a≥1,

綜上f(x)在[0,e]的最大值是a


(2)解:曲線y=f(x)上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P,Q只能在y軸的兩側,

不妨設P(t,f(t))(t>0),則Q(﹣t,t3+t2),顯然t≠1,

∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形,

=0,即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0.(1)

是否存在兩點P、Q等價于方程(1)是否有解.

若0<t<1,則f(t)=﹣t3+t2,代入(1)式得,

﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0,即t4﹣t2+1=0,

而此方程無實數(shù)解,因此t>1.

∴f(t)=alnt,代入(1)式得,﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,

=(t+1)lnt. (*),

考察函數(shù)在h(x)=(x+1)lnx(x≥1),

則h′(x)=lnx+ +1>0,

∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,∵t>1,∴h(t)>h(1)=0,

當t→+∞時,h(t)→+∞,∴h(t)的取值范圍是(0,+∞).

∴對于a>0,方程(*)總有解,即方程(1)總有解.

因此對任意給定的正實數(shù)a,曲線y=f(x)上總存在兩點P、Q,

使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上


【解析】(1)當0≤x<e時,求導函數(shù),可得f(x)在區(qū)間[0,e]上的最大值;(2)假設曲線y=f(x)上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在y軸兩側.設P、Q的坐標,由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)a,曲線y=f(x)上存在兩點P、Q,使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.

練習冊系列答案
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束】
10

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映射是函數(shù),且是偶函數(shù);

映射是函數(shù),且單增區(qū)間為

其中正確說法的序號是___________.

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