Question

關(guān)于x，y的方程組

y=x+b y= 1-x2

有解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A．-

  2

  ≤b≤

  2

• B．-1≤b≤

  2

• C．-1≤b≤1
• D．-

  2

  ≤b≤1

Answer 1

分析：方程組中y=

1-x2

表示x軸上方的半個(gè)單位圓，y=x+b表示一條直線，方程組有解即直線與半圓有交點(diǎn)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找出直線與半圓相切和直線過(guò)（1，0）兩種特殊情況，相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值；過(guò)（1，0）時(shí)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程求出b的值，根據(jù)求出的b的值即可得到滿足題意的b的范圍．

解答：解：∵y=

1-x2

表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的半圓，
y=x+b表示一條直線，
∴方程組有解，即直線與半圓有交點(diǎn)，
根據(jù)題意畫(huà)出圖形如圖所示：

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心（0，0）到直線y=x+b的距離d=r，
即

|b|

2

=1，解得b=

2

或b=-

2

（舍去），
當(dāng)直線過(guò)（1，0）時(shí)，把（1，0）代入直線方程得：b=-1，
則滿足題意的b的范圍是-1≤b≤

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有點(diǎn)到直線的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，其中把方程組中的兩方程分別看做半圓與直線，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)可得方程組有解來(lái)解決問(wèn)題．