Question

如圖，在三棱錐P－ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB＝90°，PB＝BC＝CA，D是PC的中點．

(Ⅰ)求證AC⊥平面PBC；

(Ⅱ)求異面直線PA與BD所成角的大��；

(Ⅲ)求二面角B－PA－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一 　　(1)由⊥底面，得⊥，又，即⊥， 　　∴⊥平面　　4分 　　(2)不妨設(shè)，由(1)知⊥平面，所以⊥，又，∴⊥平面，故 　　即與成　(文科)12分　(理科)6分 　　或取的中點，連接，易知∥，故就是異面直線與所成角或其補角． 　　在中，； 　　在中， 　　在中，， 　　 　　在中，，∴， 　　故異面直線與所成角的大小為　(文科)12分　(理科)6分 　　(3)過作⊥于，連接，由(2)⊥，⊥， 　　可得⊥平面，所以⊥，故就是二面角的平面角． 　　在中， 　　在中，，∴， 　　故二面角的大小為　　(理科)12分 　　解法二 　　過點作∥，如圖建立直角坐標系，設(shè)，則，，，，∴，，，，，　　4分 　　(1)∵，得⊥，即⊥ 　　同理，⊥，又　∴⊥平面　　6分 　　(2)∵∴異面直線與所成角等于　(文科)12分　(理科)6分 　　(3)在平面中，，，設(shè)平面的法向量　則，于是，取，得 　　在平面中，，，設(shè)平面的法向量則，于是，取，得 　　∵　　∴， 　　故二面角的大小為　　(理科)12分