Question

已知函數(shù)f(x)=(x²-3x+3)e^x定義域?yàn)椋?2,t］(t＞-2),設(shè)f(-2)=m,f(t)=n.

(1)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在［-2,t］上為單調(diào)函數(shù);(2)求證:n＞m;(3)若t為自然數(shù),則當(dāng)t取哪些值時(shí),方程f(x)-m=0(m∈R)在［-2,t］上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

 (1)解：因?yàn)閒′(x)=(x²-3x+3)·e^x+(2x-3)·e^x=x(x-1)·e^x．  由f′(x)>0Þx>1或x＜0;  由f′(x)<0Þ0<x<1

所以f(x)在(-∞,0)，(1,+∞)上遞增，在(0,1)上遞減 欲使f(x)在［-2,t］上為單調(diào)函數(shù),則-2＜t≤0．  (2)證明:因?yàn)閒(x)在(-∞,0),(1,+∞)上遞增,在(0,1)上遞減,

所以f(x)在x=1處取得極小值f(1)=e． 又∵f(-2)=<e，所以f(x)僅在x=-2處取得［-2,t］上的最小值f(-2)．   從而當(dāng)t＞-2時(shí),f(-2)＜f(t),即m＜n.   

 (3)解：由（1）知f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上遞增,在(0,1)上遞減,故當(dāng)t=0或t=1時(shí),方程f(x)-m=0在［-2,t］不可能有三個(gè)不等實(shí)根,所以t≥2且t∈N．當(dāng)t≥2且t∈N時(shí),方程f(x)-m=0在［-2,t］上有三個(gè)不等實(shí)根,只需滿足m∈(max(f(-2),

f(1)),min(f(0),f(t))）,即可.   ∴,f(0)=3,f(1)=e,f(2)=e²,且f(t)≥f(2)=e²＞3=f(0),

因而f(-2)＜f(1)＜f(0)＜f(2)≤f(t),∴f(1)＜m＜f(0),即e＜m＜3.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(e,3)