Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE 沿直線DE翻折成△A′DE，F(xiàn)為A′C的中點(diǎn)，A′C=4
（I）求證：平面A′DE⊥平面BCD；
（II）求證：BF∥平面A′DE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等邊三角形的性質(zhì)可得A'M⊥DE，由勾股定理可得A'M⊥MC，從而證明A'M⊥平面ABCD．
（Ⅱ）選取DC的中點(diǎn)N，由三角形中位線的性質(zhì)可得FN∥A'D，由平行四邊形的性質(zhì)可證BN∥DE，證明平面A'DE∥平面FNB，從而證明FB∥平面A'DE．

解答：證明：（Ⅰ）證由題意得△A'DE是△ADE沿DE翻轉(zhuǎn)而成，所以△A'DE≌△ADE，
∵∠ABC=120°，四邊形ABCD是平形四邊形，
∴∠A=60°，又∵AD=AE=2∴△A'DE和△ADE都是等邊三角形．∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴A′M⊥DE，A′M=

3

由在∵△DMC中，MC²=4²+1²-2×4×1•cos60°，
∴MC=

13

．   在△A'MC中，A′M2+MC2=(

3

)2+(

13

)2=42=A′C2，
∴△A'MC是直角三角形，∴A'M⊥MC，又∵A'M⊥DE，MC∩DE=M，∴A'M⊥平面ABCD．
又∵A'M?平面A'DE∴平面A'DE⊥平面BCD．
（Ⅱ）選取DC的中點(diǎn)N，連接FN，NB．∵A'C=DC=4，F(xiàn)，N點(diǎn)分別是A'C，DC中點(diǎn)，∴FN∥A'D．
又∵N，E點(diǎn)分別是平行四邊形ABCD的邊 DC，AB的中點(diǎn)，∴BN∥DE．
又∵A'D∩DE=D，F(xiàn)N∩NB=N，∴平面A'DE∥平面FNB，∵FB?平面FNB，∴FB∥平面A'DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，面面垂直的判定和性質(zhì)，取DC的中點(diǎn)N 是解題的關(guān)鍵．