Question

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P的坐標(biāo)，通過，推出m，n與P的坐標(biāo)的關(guān)系，推出定圓的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，得到x₁，x₂的關(guān)系．求出MN的距離以及O到直線MN的距離，然后證明△OMN的面積是否為定值．
解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
設(shè)P（x，y），則．由，得，
所以，即．故點(diǎn)Q（m，n）在定圓上．…（8分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則．
平方得，即．…（10分）
因?yàn)橹本�MN的方程為（x₂-x₁）y-（y₂-y₁）x+x₁y₂-x₂y₁=0，
所以O(shè)到直線MN的距離為，…（12分）
所以△OMN的面積S=MN•l=|x₁y₂-x₂y₁|=
==．
故△OMN的面積為定值1．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．