Question

如圖，在△ABC中，BC=24．AC，AB邊上的中線長(zhǎng)之和等于39．
（Ⅰ）求△ABC重心M的軌跡方程；
（Ⅱ）若M是（Ⅰ）中所求軌跡上的一點(diǎn)，且∠BMC=60°，求△BMC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得△ABC重心M在以B、C為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出△ABC重心M的軌跡方程．
（Ⅱ）由橢圓定義及余弦定理，得

|MB|+|MC|=26 |MB|2+|MC|2-2|MB|×|MC|cos60°=242

，解得|MB|×|MC|=

100

3

，由此能求出△BMC的面積．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知，|MB|+|MC|=

2

3

|BD|+

2

3

|CE|=

2

3

(|BD|+|CE|)=

2

3

×39=26＞24=|BC|，
因此，△ABC重心M在以B、C為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．…（3分）
以BC所在直線x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)這個(gè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．…（4分）
由上可知，2a=26，2c=24，
即a=13，c=12，
∴b²=a²-c²=13²-12²=25，…（6分）
∴△ABC重心M的軌跡方程為

x2

169

+

y2

25

=1(y≠0)．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B、C是橢圓的兩焦點(diǎn)，
由橢圓定義及余弦定理，得

|MB|+|MC|=26 |MB|2+|MC|2-2|MB|×|MC|cos60°=242

，
即

|MB|+|MC|=26 |MB|2+|MC|2-|MB|×|MC|=576

，…（10分）
由上方程組，可得|MB|×|MC|=

100

3

，…（12分）
所以△BMC的面積為

1

2

|MB|×|MC|sin60°=

1

2

×

100

3

×

3

2

=

25 3

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義及余弦定理的合理運(yùn)用．