Question

（2013•保定一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知：直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）若在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，

π

3

），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值與最小值的差．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)不滿足直線l的方程，可得點(diǎn)P不在直線l上．
（2）把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離d的值，根據(jù)點(diǎn)Q到直線l的距離的最小值為d-r，最大值為d+r，從而求得點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值與最小值的差．

解答：解：（1）把點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，

π

3

）化為直角坐標(biāo)為（2，2

3

），
把直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程為 y=

3

x+1，
由于點(diǎn)P的坐標(biāo)不滿足直線l的方程，故點(diǎn)P不在直線l上．
（2）∵點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線C的參數(shù)方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．
把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程為 （x-2）²+y²=1，表示以C（2，0）為圓心、半徑等于1的圓．
圓心到直線的距離d=

|2 3 -0+1|

3+1

=

3

+

1

2

，
故點(diǎn)Q到直線l的距離的最小值為d-r=

3

-

1

2

，最大值為d+r=

3

+

3

2

，
∴點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值與最小值的差為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．