Question

已知函數(shù)f（x）=（a-

1

2

）x²+lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）證明：當(dāng)a∈(0，

1

2

]時，在區(qū)間（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值；
（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，x∈（1，+∞），在區(qū)間（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立?g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出g（x）大值．

解答： （1）解：當(dāng)a=1時，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

，
對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，
∴f(x)max=f(e)=1+

e2

2

，f(x)min=f(1)=

1

2

．
（2）證明：令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，x∈（1，+∞），
在區(qū)間（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立?g（x）_max＜0，x∈（1，+∞）．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

，
∴當(dāng)a∈(0，

1

2

]時，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有g(shù)'（x）＜0，
從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴g（x）＜g（1），又g(1)=-a-

1

2

＜0，
∴g（x）＜0，即f（x）＜2ax恒成立．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了構(gòu)造函數(shù)法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．