（2011•江西模擬）如圖，△ABC為一個(gè)等腰三角形的空地，底邊AB長(zhǎng)為4（百米），腰長(zhǎng)為3（百米），現(xiàn)決定在空地上修一條筆直的小路EF（寬度不計(jì)），將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形周長(zhǎng)相等，面積分別為S1和S2，
（1）若小路一端E為AC中點(diǎn)，求小路的長(zhǎng)度；
（2）求
S1S2
的最小值．
分析：（1）小路一端E為AC中點(diǎn)，則F在BC，利用四邊形和三角形周長(zhǎng)相等．求出CF，然后求出cosC，利用余弦定理求小路EF的長(zhǎng)度；
（2）若E、F在兩腰上，設(shè)CE=x，CF=y，表示出
S1
S2
的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式求出最小值．
若點(diǎn)E、F在一腰和底上，設(shè)E在CA上，F(xiàn)在AB上，設(shè)AE=x，AF=y，表示出
S1
S2
的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式求出最小值．
解答：解：（1）易知F在BC上，則AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF，∵E為AC中點(diǎn)，∴AE=EC，
BF=4-CF，上式化為BF=
1
2
，即CF=
7
2
，cosC=
1
2
BC
AC
=
2
3
，
根據(jù)余弦定理，EF2=CF2+CE2-2CF•CEcosC=(
7
2
)2+(
3
2
)2-2×
7
2
×
3
2
×
2
3
=
30
4
，
∴EF=
30
2

（2）若E、F在兩腰上，設(shè)CE=x，CF=y，
∴x+y=5，
S1
S2
=
S△CAB-S2
S2
=
1
2
CA•CB•sinC
1
2
x•y•sinC
-1=
9
xy
-1≥
9
(
x+y
2
)2
-1=
11
25

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=
5
2
時(shí)取“=”號(hào)
若點(diǎn)E、F在一腰和底上，設(shè)E在CA上，F(xiàn)在AB上，設(shè)AE=x，AF=y，
∴x+y=5，
S1
S2
=
S△CAB-S2
S2
=
1
2
AC•AB•sinA
1
2
x•y•sinA
-1=
12
xy
-1≥
12
(
x+y
2
)2
-1=
23
25

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=
5
2
時(shí)取“=”號(hào)
所以最小值為
11
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角形的解法，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•江西模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2-b2=
3
bc，sinC=2
3
sinB，則A=（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•江西模擬）已知數(shù)列{an}，{bn}分別是等差、等比數(shù)列，且a1=b1=1，a2=b2，a4=b3≠b4．
①求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求{
1
Sn
}的前n項(xiàng)和Tn；
③設(shè)Cn=
anbn
Sn+1
（n∈N），Rn=C1+C2+…+Cn，求Rn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•江西模擬）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=
2an
an+2
（n∈N*），a2011=
1
2011
．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=
4
an
-4023且cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
(n∈N*)，求證：c1+c2+…+cn＜n+1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•江西模擬）已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）給出如下定義：對(duì)于函數(shù)y=F（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），如果對(duì)于函數(shù)y=F（x）圖象上的點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0=
x1+x22
)總能使得F（x1）-F（x2）=F'（x0）（x1-x2）成立，則稱(chēng)函數(shù)具備性質(zhì)“L”，試判斷函數(shù)f（x）是不是具備性質(zhì)“L”，并說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•江西模擬）設(shè)a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)滿(mǎn)足f(-
π
3
)=f(0)，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c且
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
，求f（x）在（0，B]上的值域．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案