Question

函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-lnx（a∈R），當a=

1

2

時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，若a＞

2e

e2+1

，m、n分別為f（x）的極大值和極小值，S=m-n，求S的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：a=

1

2

時，f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

2

+

1

2x2

-

1

x

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
f'（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

1

x2

（ax²-2x+a），f（x）有極大值和極小值，從而ax²-2x+a=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），進而

2e

e2+1

＜a＜1，由此得到S=m-n=-4

(1-a2)-2ln( x1 x2 )

，令u=

1-a2

，由導數(shù)性質(zhì)能求出0＜S＜

8

e2+1

．

解答： 解：∵a=

1

2

時，f（x）=

1

2

x-

1

2x

-lnx，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

2

+

1

2x2

-

1

x

=

x2-2x+1

2x2

=

(x-1)2

2x2

≥0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無減區(qū)間．
f'（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

1

x2

（ax²-2x+a），
f（x）有極大值和極小值，
所以f（x）=0有兩根，
即ax²-2x+a=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂）
△=4-4a²＞0，即-1＜a＜1，
∴

2e

e2+1

＜a＜1，
x₁=

1

a

（1-

1-a2

），x₂=

1

a

（1+

1-a2

），
列表討論：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

S=m-n=f（x₁）-f（x₂）
=a（x₁-x₂）-a（

1

x1

-

1

x2

）-2ln（

x1

x2

）
=a（x₁-x₂）-

a(x2-x1)

x1x2

-2ln（

x1

x2

）
=a（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）-2ln（

x1

x2

），
x₁+x₂=

2

a

，x₁x₂=1，
x₁-x₂=-

(x1+x2)2-4x1x2

=-

( 2 a )2-4

=-

2 1-a2

a

，

x1

x2

=

1- 1-a2

1+ 1-a2

，
S=-4

(1-a2)-2ln( x1 x2 )

，
令u=

1-a2

，

2e

(e2+1)

＜a＜1，
∴0＜u＜

e2-1

e2+1

，
S=-4u-2ln（

1-u

1+u

），
S′=-4+

4

1-u2

=

4u2

1-u2

＞0，
S單調(diào)遞增，
∴S（0）＜S（u）＜S（

e2-1

e2+1

）
∴0＜S＜

8

e2+1

．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．