Question

拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=2，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  10

  2

• B、2
• C、

  5

• D、

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定拋物線y²=2x的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=2，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論．

解答： 解：拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），其準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，
∵準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)
∴a=

1

2

，
∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=2，
∴M的橫坐標(biāo)為

3

2

，
代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±

3

，
將M（

3

2

，±

3

）的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得，

9 4

1 4

-

3

b2

=1，即b²=

3

8

，則c²=a²+b²=

1

4

+

3

8

=

5

8

，
即c=

10

4

，
則雙曲線的離心率為e=

c

a

=

10 4

1 2

=

10

2

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查曲線的交點(diǎn)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵