Question

巳知a＞0，設命題p：函數(shù)f（x）=x²-2ax+1-2a在區(qū)間[0，1]上與x軸有兩個不同 的交點；命題q：g（x）=|x-a|-ax在區(qū)間（0，+∞）上有最小值．若（￢p）∧q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由拋物線的特點可知p成立需，解之可得a的范圍，同理g（x）=，要滿足題意需0＜a≤1，再由（￢p）∧q是真命題，可得p是假命題且q是真命題，進而可得，化簡可得答案．
解答：解：函數(shù)f（x）=x²-2ax+1-2a在區(qū)間[0，1]上與x軸有兩個不同的交點，
必須，即，解得．
所以當時，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1-2a在區(qū)間[0，1]上與x軸有兩個不同的交點；
由題意可得g（x）=|x-a|-ax=，因為a＞0，所以-（1+a）＜0，
所以函數(shù)y₁=-（1+a）x+a是單調遞減的，要g（x）使在區(qū)間（0，+∞）上有最小值，
必須使y₂=（1-a）x-a在[a，+∞）上單調遞增或為常數(shù)，即1-a≥0，解得a≤1，
所以當0＜a≤1時，函數(shù)g（x）使在區(qū)間（0，+∞）上有最小值．
若（￢p）∧q是真命題，則p是假命題且q是真命題，
所以，解得，或，
故實數(shù)a的取值范圍為：（0，]∪（，1]
點評：本題考查復合命題的真假，涉及函數(shù)的值域和函數(shù)的零點，屬基礎題．