Question

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）
所表示的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133102998214.gif" style="vertical-align:middle;" />，記內(nèi)的整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為.
（Ⅰ）求并猜想的表達(dá)式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在自然數(shù)m？使得對(duì)一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ），，，＝3n，（Ⅱ）滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0

（Ⅰ）當(dāng)n＝1時(shí)，D₁為Rt△OAB₁的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)，
當(dāng)n＝2時(shí)，D₂為Rt△OAB₂的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)，
當(dāng)n＝3時(shí)，D₃為Rt△OAB₃的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)，……， ---3分
由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立。
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即，（） ----5分
如圖，平面區(qū)域為Rt內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域為
Rt△內(nèi)部包括斜邊，∵平面區(qū)域比平面區(qū)域多3
個(gè)整點(diǎn)， ------- 7分            
即當(dāng)n＝k+1時(shí)，，這就是說(shuō)當(dāng)n＝k+1時(shí)，
猜想也成立，
由（1）、（2）知＝3n對(duì)一切都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵＝3n,  ∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列,
∴.
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∵對(duì)一切，恒成立,  ∴
∵在上為增函數(shù) ∴ ---13分
，滿足的自然數(shù)為0，
∴滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0。 -------------------------14分