Question

如圖，圓C₁：（x﹣a）²+y²=r²（r＞0）與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個交點
M（2，1），且拋物線在點M處的切線過圓心C₁．
（Ⅰ）求C₁和C₂的標準方程；
（Ⅱ）若點N為圓C₁上的一動點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0），解得p=2，
所以C₂：x²=4y
由得，
所以C₂在點M處的切線方程為y﹣1=x﹣2，
令y=0有x=1．
因為拋物線在點M處的切線過圓心C₁，所以圓心C₁（1，0），
又因為M （2，1）在圓C₁上所以（2﹣1）²+1=r²，
解得r²=2，
故C₁：（x﹣1）²+y²=2
（Ⅱ）設N（x，y），則，，
所以，
令x+y﹣1=t，代入（x﹣1）²+y²=2得（y﹣t）²+y²=2，
整理得2y²﹣2ty+t²﹣2=0
由△=4t²﹣8（t²﹣2）≥0得﹣2≤t≤2
所以的取值范圍為[﹣2，2]．