Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中點(diǎn)，
（1）求證：AG⊥平面BGC；
（2）求二面角B-AC-G的正弦值．

Answer 1

（1）證明：∵G是矩形ABEF的邊EF的中點(diǎn)
∴AG=BG=

4+4

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC；
（2）作GM⊥AB于M，則M為AB中點(diǎn)，M為G的射影
作GH⊥AC于H，連接MH，則所求角∠GHM
∵GM=a，MH=

1

2

BD=

2

a
∴GH=

3

a
∴sin∠GHM=

GM

GH

=

3

3

．