正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,分別取邊BC,CD的中點(diǎn)E,F(xiàn),連接AE,EF,AF,以AE,EF,AF為折痕,折疊這個(gè)正方形,使點(diǎn)B,C,D重合于一點(diǎn)P,得到一個(gè)四面體,如圖所示.
(1)求證:AP⊥EF;
(2)求證:平面APE⊥平面APF;
(3)求三棱錐P-AEF的體積.

(本小題滿分14分)
證明:(1)∵∠APE=∠APF=90°,
PE∩PF=P,
∴PA⊥平面PEF.…(3分)
又EF?平面PEF,
AP⊥EF;…5分
(2)∵∠APE=∠EPF=90°,AP∩PF=P,
∴PE⊥平面APF.…(8分)
又PE?平面APE,
∴平面APE⊥平面APF.…(10分)
(3)由(1)知PA⊥平面PEF,
==.…(14分)
分析:(1)通過(guò)∠APE=∠APF=90°,證明PA⊥平面PEF,然后證明AP⊥EF;
(2)利用∠APE=∠EPF=90°,證明PE⊥平面APF,然后證明平面APE⊥平面APF;
(3)利用,求出幾何體的體積.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間線面關(guān)系,體積的求法,考查空間想像能力和推理論證能力,考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn),則
AE
BD
=
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,正方形ADEF所在平面與平面ABCD互相垂直,G,H是DF,F(xiàn)C的中點(diǎn).
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)求證:BC⊥平面CDE;
(3)求三棱錐G-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,中心為M,球O與正方形ABCD所在的平面相切于M點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的球的直徑另一端點(diǎn)為N,線段NA與球O的球面的交點(diǎn)為E,且E恰為線段NA的中點(diǎn),則球O的體積為( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,對(duì)角線AC與BD交于O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成60°的二面角,并給出下面結(jié)論:①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC為正三角形;④cos∠ADC=
3
4
,則其中的真命題是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•徐州模擬)已知中心為O的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N分別為線段BC,CD上的兩個(gè)不同點(diǎn),且|
MN
|=1,則
OM
ON
的取值范圍是
[2-
2
,1]
[2-
2
,1]

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