Question

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試．根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)為．
現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序時(shí)被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，
則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫出X的可能值集合；
（Ⅱ）假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有X≤2，
①試按（Ⅱ）中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立）；②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．

Answer 1

分析：（1）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，a₂，a₄中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a₁，a₃中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，得到|1-a₁|+|3-a₃|與|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，得到結(jié)論．
（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，計(jì)算每種排列下的X的值，算出概率，寫出分布列．
（3）做出三輪測(cè)試都有X≤2的概率，記做P，做出概率的值和已知量進(jìn)行比較，得到結(jié)論，

解答：解：（1）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}
∵在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，
∴a₂，a₄中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a₁，a₃中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，
∴|1-a₁|+|3-a₃|與|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，
∴X=（|1-a₁|+|3-a₃|）+（|2-a₂|+|4-a₄|）必為偶數(shù)，
X的值非負(fù)，且易知其值不大于8，
∴X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}
（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，
計(jì)算每種排列下的X的值，
在等可能的假定下，
得到P（X=0）=

1

24

P（X=2）=

3

24

P（X=4）=

7

24

P（X=6）=

9

24

P（X=8）=

4

24

（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=

4

24

=

1

6

將三輪測(cè)試都有X≤2的概率記做P，有上述結(jié)果和獨(dú)立性假設(shè)得
P=(

1

6

)3=

1

216

，
②由于P=

1

216

＜

5

1000

是一個(gè)很小的概率，
這表明僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有X≤2的結(jié)果的可能性很小，
∴我們認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的鑒別功能，不是靠隨機(jī)猜測(cè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分布列和期望的簡(jiǎn)單應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．