Question

已知曲線： （為參數(shù)），：（為參數(shù)）．

（1）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線：（為參數(shù)）距離的最小值．

 

Answer 1

（1）：，為圓心是，半徑是1的圓．曲線：． 為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系消去曲線和曲線參數(shù)方程的參數(shù)即可得到其普通方程，根據(jù)普通方程就可以說明其表示的曲線類型；（2）將代入曲線的參數(shù)方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，用曲線的參數(shù)方程，設(shè)出Q坐標(biāo)，求出PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，將曲線的方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出M點(diǎn)到曲線的距離，利用設(shè)輔助角的方法，求出距離的最小值.

試題解析：（1）由曲線：（為參數(shù)）得，

兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：．為圓心是，半徑是1的圓． 3分

由曲線：（為參數(shù)）得，

兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：． 為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓． 6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048007028316711_DA/SYS201411172048007028316711_DA.001.png">上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，故，又為上的點(diǎn)，所以，故中點(diǎn)為．

由：（為參數(shù)）消去參數(shù)知，為直線，則到的距離．.5.u.c.o.m

從而當(dāng)，時(shí)，取得最小值． 12分

考點(diǎn):圓的參數(shù)方程，橢圓的參數(shù)方程，直線的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)