Question

求下面各數列的一個通項：
(1)-

1

2×4

，

4

5×7

，-

9

8×10

，

16

11×13

，…；
（2）數列的前n項的和S_n=2n²+n+1；
（3）數列{a_n}的前n項和S_n=1+ra_n（r為不等于0，1的常數）．

Answer 1

分析：（1）先根據各項的符號確定（-1）ⁿ，再由各項分子是序號的平方從而可得到分子為n²，再由分母的形式可確定分母為（3n-1）（3n+1），進而可確定數列的通項公式．
（2）先令n=1可得到a₁的值，再由當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，最后驗證當n=1時的值，得到答案．
（3）先根據S_n=1+ra_n可得到S_n-1=1+ra_n-1，再由當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=r（a_n-a_n-1），可得到

an

an-1

=

r

r-1

，可確定數列{a_n}是公比為

r

r-1

的等比數列，最后根據等比數列的通項公式可得到答案．

解答：解：（1）an=(-1)n

n2

(3n-1)(3n+1)

．
（2）當n=1時a₁=S₁=4，當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
顯然a₁不適合a_n=4n-1
∴an=

4     (n=1) 4n-1   (n≥2)

．
（3）由S_n=1+ra_n可得當n≥2時S_n-1=1+ra_n-1，
∴S_n-S_n-1=r（a_n-a_n-1），
∴a_n=ra_n-ra_n-1，∴a_n（r-1）=ra_n-1，∵r≠1，
∴

an

an-1

=

r

r-1

，∵r≠0，
∴{a_n}是公比為

r

r-1

的等比數列．
又當n=1時，S₁=1+ra₁，∴a1=

1

1-r

，
∴an=

1

1-r

(

r

r-1

)n-1．

點評：本題主要考查求數列通項公式的方法--觀察法和利用S_n與a_n的關系進行轉化法．求數列的通項公式是數列考查的重點，要熟練掌握．