Question

15．已知函數(shù)f（x）=acosx+xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．當1＜a＜2時，則函數(shù)f（x）極值點個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先判定該函數(shù)為偶函數(shù)，再通過運算得出x=0為函數(shù)的一個極值點，最后再判斷函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）有一個極值點．

解答 解：∵f（-x）=acos（-x）+（-x）sin（-x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，
又∵f'（x）=（1-a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，-------①
所以，x=0為函數(shù)的一個極值點，
而f''（x）=（2-a）cosx-xsinx，a∈（2，3），
則f''（0）=2-a＞0，故函數(shù)f'（x）在x=0附近是單調遞增的，
且f'（$\frac{π}{2}$）=1-a＜0，結合①，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理，
必存在m∈（0，$\frac{π}{2}$）使得f'（m）=0成立，
顯然，此時x=m就是函數(shù)f（x）的一個極值點，
再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）也必有一個極值點，
綜合以上分析得，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]共有三個極值，
故選C．

點評 本題主要考查了函數(shù)的極值，以及運用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)零點的判定，屬于中檔題．