已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的偶函數(shù),且對x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x).又當x∈[0,1]時,f(x)=x.
(1)當x∈[-1,0]時,求f(x)的解析式;
(2)求證:函數(shù)y=f(x)(x∈R)是以T=2為周期的周期函數(shù);
(3)解答本小題考生只需從下列三個問題中選擇一個寫出結論即可(無需寫解題步驟).注意:考生若選擇多于一個問題解答,則按分數(shù)最低一個問題的解答正確與否給分.
①當x∈[2n-1,2n](n∈Z)時,求f(x)的解析式.
②當x∈[2n-1,2n+1](其中n是給定的正整數(shù))時,若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=kx的圖象有且僅有兩個公共點,求實數(shù)k的取值范圍.
③當x∈[0,2n](n是給定的正整數(shù)且n≥3)時,求f(x)的解析式.
【答案】分析:(1)由y=f(x)是R上的偶函數(shù),且x∈[0,1]時,f(x)=x,由此能求出當x∈[-1,0]時,f(x)的解析式.
(2)對于x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x),故f(2+x)=f(-x).由y=f(x)是偶函數(shù),能夠證明函數(shù)y=f(x)(x∈R)是以T=2為周期的周期函數(shù).
(3)利用(1)的結論,結合偶函數(shù)的性質進行求解.
解答:(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分(5分),第2小題滿分(5分),第3小題最多(8分).
解(1)∵y=f(x)是R上的偶函數(shù),且x∈[0,1]時,f(x)=x,
又當x∈[-1,0]時,-x∈[0,1],有f(-x)=-x.
∴f(x)=-x(-1≤x≤0).                 (5分)
(2)證明∵對于x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x),
∴f(2+x)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x)),即f(2+x)=f(-x).      (7分)
又∵y=f(x)是偶函數(shù),
∴f(2+x)=f(x),即y=f(x)是周期函數(shù),且T=2就是它的一個周期.   (10分)
(3)依據(jù)選擇解答的問題評分
①f(x)=2n-x(x∈[2n-1,2n]).  (14分)
.                                                         (16分)
(18分)
點評:本題考查函數(shù)解析式的求法,考查周期函數(shù)的證明,解題時要認真審題,仔細解答,注意函數(shù)性質的靈活運用.
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