Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0 ）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是它的右焦點(diǎn)，若

FA

•

FB

=-1且|OF|=1
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓G的上頂點(diǎn)為M，是否存在直線L，L交橢圓于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)，滿足PQ⊥MF，且|PQ|=

4

3

，若存在，求直線L的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)

FA

•

FB

=-1且|OF|=1，建立方程，求出幾何量，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，即可求出直線L的方程．

解答： 解：（1）∵

FA

•

FB

=-1且|OF|=1，
∴c=1，（a+c）（a-c）=1
∴a²=2b²=2-1=1
∴橢圓C的方程是

x2

2

+y2=1┉┉┉┉┉┉（4分），
（2）設(shè)P（x₁，y₁）　Q（x₂，y₂）（6分）
∵M(jìn)F⊥PQ，∴設(shè)l_PQ：y=x+m
由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

┉┉┉┉┉┉（8分）
由|PQ|=

4

3

得

1+1

|x1-x2|=

4

3

，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

8

9

，
∴

16m2

9

-

8m2-8

3

=

8

9

，
∴m=±

2

經(jīng)檢驗(yàn)m=±

2

時(shí)△＞0
∴所求的直線方程是：y=x±

2

┉┉┉┉┉┉（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及弦長公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．