Question

x函數(shù)f（x）=2sinx-πl(wèi)nx（x∈（O，π））的零點(diǎn)，x₁＜x₂?，則
①x∈（1，e）；
②x∈（1，π）；
③f（x1）-f（x2）＜0；
④f（x1）-f（x2）＞0．
其中正確的命題為（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判定定理判斷是否存在零點(diǎn)，來(lái)判斷①②是否正確；
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)判斷③④是否正確．
解答：解：∵f（1）=2sin1-πl(wèi)n1=2sin1＞0，f（e）=2sine-π＜0，
∵f（x）為連續(xù)函數(shù)且f（1）•f（e）＜0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，在（1，e）內(nèi)存在零點(diǎn)，
又∵f^′（x）=2cosx-，當(dāng)x∈（0，]時(shí)，2cosx＜2，＞2，
∴f^′（x）＜0；
當(dāng)x∈（，π）時(shí)，cosx＜0，∴f^′（x）＜0，
∴函數(shù)在（0，π）上是減函數(shù)，
故①④正確．
故答案是①④．
點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判斷及應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)判定及利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性．