Question

(x

3

2

-

3

x

)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．
（1）求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和；
（2）求展開(kāi)式中含x⁶的項(xiàng)；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式列出方程求出n，通過(guò)給x賦值1，求出展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和．
（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于6，求出展開(kāi)式中含x⁶的項(xiàng)；
（3）根據(jù)系數(shù)的絕對(duì)值最大滿足大于等于前一項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值同時(shí)大于等于后一項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值，列出不等式求出解．

解答：解：(x

3

2

-

3

x

)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和2ⁿ=256?n=8．．
（1）令x=1得：各項(xiàng)系數(shù)和S=(1-

3

1

)8=256．．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)為Tr+1=

C

r 8

(x

3

2

)8-r(

-3

x

)r=(-3)r

C

r 8

x12-2r（0≤r≤8，且r∈Z）
當(dāng)r=3時(shí)，即為展開(kāi)式中含x⁶的項(xiàng)：T₄=-1512x⁶．
（3）設(shè)第r+1展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值為3^rC₈^r最大
則

3r C r 8 ≥3r-1 C r-1 8 3r C r 8 ≥3r+1 C r+1 8

?

r≤ 27 4 r≥ 23 4

?

23

4

≤r≤

27

4

，又r∈N，∴r=6
所以系數(shù)絕對(duì)值最大的是第七項(xiàng)T₇=（-3）⁶C₈⁶=（-3）⁶×28

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)的求法．