Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，（n∈N^*，p為常數(shù)），a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求p的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)閍₁=4，，
所以；．
因?yàn)閍₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依題意，，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，，，
…，．
相加得，
所以，
所以．
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
所以．
（Ⅱ）證明：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/534825.png' />，所以．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/534828.png' />，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，則，即n≥2時(shí)，b_n+1＜b_n．
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/63577.png' />，，所以．
分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=4，，可得數(shù)列的前3項(xiàng)，利用a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，確定p的值，再利用疊加法，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）確定以，進(jìn)而可知n≥2時(shí) b_n+1＜b_n，結(jié)合，，可證結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查疊加法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．