Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線的左、右支的交點(diǎn)分別為A，B．
（1）求證：P在雙曲線的右準(zhǔn)線上；
（2）求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出雙曲線半焦距，求得漸近線方程，則可求得過(guò)F的垂線方程，聯(lián)立方程求得焦點(diǎn)p的橫坐標(biāo)，推斷出在右準(zhǔn)線上
（2）根據(jù)直線l與雙曲線左右支均有交點(diǎn)，判斷出該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，進(jìn)而推斷出 

b

a

＞

a

b

整理后即可求得a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線半焦距為c，c＞0，有F（c，0） 
該漸近線方程為y=-

b

a

x，則過(guò)F的垂線為y=

a

b

（x-c） 
聯(lián)立方程組可解得  x=

a2

c

，即在右準(zhǔn)線x=

a2

c

上．
（2）因?yàn)橹本�l與雙曲線左右支均有交點(diǎn)，則該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．
所以l₁的斜率必大于l的斜率，即 

b

a

＞

a

b

，即b² ＞a²，又b²=c²-a²，
所以c²＞2a²    
則離心率e=

c

a

＞

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及了雙曲線方程中a，b和c的關(guān)系，漸近線問(wèn)題，離心率問(wèn)題等．