Question

（理科）定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）若方程上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）得b=0，通過對(duì)x的分段討論求出函數(shù)的最大值，根據(jù)已知條件得到關(guān)于a的方程，求出a的值．
（2）將f（x）代入方程并將方程變形，將方程根的情況轉(zhuǎn)換為二次方程的實(shí)根分布問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象寫出限制條件，求出m的范圍．
解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得b=0
∴
又由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽知a≥0

當(dāng)且僅當(dāng)ax²=1即
∴
綜上a=1，b=0…（6分）
（2）

∴方程mx²+x+m+1=0在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個(gè)非零實(shí)根．
當(dāng)m=0時(shí)，x=-1不合題意當(dāng)m≠0時(shí)，分兩種情況討論
①
②令h（x）=mx²+x+m+1則h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0
綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次方程的實(shí)根分布問題，應(yīng)該結(jié)合二次函數(shù)的圖象，從對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)限制．