Question

【題目】（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，試探索當(dāng)變化時，是否存在一條定直線，使得點(diǎn)恒在直線上？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)恒在直線上

【解析】試題分析：（1）直線與x軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，所以由得從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）探索性問題，先通過特殊情形探索目標(biāo)：令，則根據(jù)對稱性知滿足題意的定直線只能是．問題轉(zhuǎn)化為證明P,B,D三點(diǎn)共線，可利用斜率相等進(jìn)行證明：設(shè)， ，則，從而 ，再利用直線與橢圓方程聯(lián)立方程組得關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得與關(guān)系，進(jìn)而得

試題解析：（1）由題設(shè)，得解得從而，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分

（2）令，則， 或者， ．

當(dāng)， 時， ；當(dāng)， 時， ，

所以，滿足題意的定直線只能是． 6分

下面證明點(diǎn)恒在直線上．

設(shè)， ，由于垂直于軸，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，從而只要證明在直線上． 8分

由得，

，

， ．① 10分

∵

， 13分

①式代入上式，得， 所以． 15分

∴點(diǎn)恒在直線上，從而直線、直線與直線三線恒過同一點(diǎn)

， 所以存在一條定直線： 使得點(diǎn)恒在直線上． 16分