【題目】設(shè)函數(shù),若過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】f(x)=x33x2,f(x)=3x26x

設(shè)切點(diǎn)為(x0,x303x20),f(x0)=3x206x0.

過(guò)切點(diǎn)處的切線方程為yx30+3x20=(3x206x0)(xx0),

把點(diǎn)(2,n)代入得:nx30+3x20=(3x206x0)(2x0).

整理得:2x309x20+12x0+n=0.

若過(guò)點(diǎn)(2,n)可作三條直線與曲線y=f(x)相切,則方程2x309x20+12x0+n=0有三個(gè)不同根

g(x)=2x39x2+12x,

g(x)=6x218x+12=6(x1)(x2)

當(dāng)x∈(∞,1)∪(2,+∞)時(shí),g(x)>0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g(x)<0,

∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(∞,1),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1,2).

當(dāng)x=1時(shí),g(x)有極大值為g(1)=5;當(dāng)x=2時(shí),g(x)有極小值為g(2)=4.

4<n<5,得5<n<4.

實(shí)數(shù)n的取值范圍是(5,4).

故選:A.

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