Question

（A）（幾何證明選講選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，則BD的長為=

16

5

；
（B）（不等式選講選做題）關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-1，0）

；
（C）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為

x=3cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

3

)=6．點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為

6-

3

．

Answer 1

分析：本題中（A）是幾何證明選講題，由已知條件AC=3，BC=4，可求出AB=5，只要連接CD，可得到兩個(gè)相似的直角三角形，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求BD的長；
（B）是不等式選講題，不等式右側(cè)含有待求系數(shù)，可考慮不等式左邊絕對(duì)值的幾何意義，理解為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離問題，求出不等式左邊的范圍，只要右側(cè)小于這個(gè)范圍就可以求出a的范圍；
（C）是參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題，首先把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，問題變?yōu)榱饲髾E圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線上點(diǎn)的最小值．

解答：解：（A）連接CD，因直徑所對(duì)圓周角為直角，所以∠CDB為直角，則Rt△BDC∽R(shí)t△BCA，
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，則

BC

BD

=

AB

BC

，所以BD=

BC2

AB

=

16

5

．
（B）不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的左邊的幾何意義為數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)X到兩實(shí)數(shù)1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，所以|x-1|+|x-2|≥1，要使原不等式的解集為空集，只需a²+a+1＜1即可，
解得-1＜a＜0，所以使關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集為空集的實(shí)數(shù)a的取值范圍
是（-1，0）．
（C）由曲線C的參數(shù)方程為

x=3cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），知曲線C的普通方程為

x2

9

+y2=1直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

3

)=6，知直線l方程為x+

3

y-12=0，設(shè)與直線l平行的直線方程為x+

3

y+m=0，
聯(lián)立

x2 9 +y2=1 x+ 3 y+m=0

得12y2+2

3

my+m2-9=0，由△=0，得m=-2

3

，兩平行線x+

3

y-12=0和
x+

3

y-2

3

=0間的距離即為點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，由兩平行線距離公式得

|-12-2 3 |

12+( 3 )2

=6-

3

．
故A、B、C答案分別為

16

5

、（-1，0）、6-

3

．

點(diǎn)評(píng)：幾何證明選講問題當(dāng)屬平面幾何內(nèi)容，解決問題的關(guān)鍵是做好有效的輔助線；含絕對(duì)值的不等式的解法，若是單純的求解，可分段討論，涉及待求系數(shù)問題，考慮絕對(duì)值的幾何意義不失為一種有效的解題方法；
參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題，要考慮轉(zhuǎn)化為常見的普通方程求解．