Question

設(shè)a＞0，函數(shù)y=|log_ax|的定義域為[m，n]（m＜n），值域為[0，1]定義“區(qū)間[m，n]的長度等于n-m”，若[m，n]的長度最小值為

5

6

，則實數(shù)a的值為

6

．

Answer 1

分析：在坐標(biāo)平面內(nèi)先畫出函數(shù)f（x）=log_ax的圖象，然后根據(jù)函數(shù)圖象的對折變換法則，畫出函數(shù)y=|log_ax|的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象及區(qū)間[m，n]的長度定義，結(jié)合[m，n]的長度最小值為

5

6

，分類討論后，可得答案．

解答：解：在坐標(biāo)平面內(nèi)先畫出函數(shù)f（x）=log_ax的圖象，
再將其圖象位于x軸下方的部分“翻折”到x軸的上方，
與f（x）本身不在x軸下方的部分共同組成函數(shù)g（x）=|log_ax|的圖象，
∵g（1）=0，g（a）=g (

1

a

)=1，
結(jié)合圖形可知，要使函數(shù)g（x）的值域是[0，1]，
其定義域可能是 [

1

a

，1]、[1，a]、[

1

a

，a]，
且1-

1

a

=

a-1

a

＜a-1，
因此結(jié)合題意知1-

1

a

=

5

6

，
a=6．
故答案為6

點評：本題考察的知識點是對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及函數(shù)圖象的對折變換，為了方便分析，我們可以畫出滿足條件的圖象，根據(jù)圖象分析出正確的答案．中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”．“以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等．