Question

已知函數(shù)f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取到極值．
①求t的取值范圍；
②若a+c=2b²，求t的值．
（2）若存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據(jù)極值點是導函數(shù)的根，據(jù)方程的根是相應函數(shù)的零點，結合函數(shù)的單調(diào)性寫出滿足的不等式解出t的范圍，②將三個極值點代入導函數(shù)得到方程，左右兩邊各項的對應系數(shù)相等，列出方程組，解出t值．
（2）先將存在實數(shù)t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立轉(zhuǎn)化為將t看成自變量，f（x）的最小值）≤x；再構造函數(shù)，通過導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，求出m的范圍．
解答：解：（1）①f'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有3個極值點，
∴x³-3x²-9x+t+3=0有3個根a，b，c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，（-1，3）上遞減．
∵g（x）有3個零點∴∴-8＜t＜24．
②∵a，b，c是f（x）的三個極值點，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc
∴
∴b=1或-（舍∵b∈（-1，3））
∴∴t=8

（2）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
設φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ'（x）=-e^-x-2x+6．
設r（x）=φ'（x）=-e^-x-2x+6，則r'（x）=e^-x-2，因為1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在區(qū)間[1，m]上是減函數(shù)．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x∈（2，3），使得r（x）=φ'（x）=0．
當1≤x＜x時，有φ'（x）＞0，當x＞x時，有φ'（x）＜0．
從而y=φ（x）在區(qū)間[1，x]上遞增，在區(qū)間[x，+∞）上遞減．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0．
所以當1≤x≤5時，恒有φ（x）＞0；
當x≥6時，恒有φ（x）＜0；
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5．
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值、極值點是導函數(shù)的根、解決不等式恒成立常用的方法是構造函數(shù)利用導數(shù)求函數(shù)的最值．