Question

【題目】某校高二理科8班共有50名學(xué)生參加學(xué)業(yè)水平模擬考試，成績(jī)（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語(yǔ)文成績(jī)近似服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖.

（I）這50名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的大約各有多少人？

（Ⅱ）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科成績(jī)都優(yōu)秀的共有4人，從語(yǔ)文優(yōu)秀或數(shù)學(xué)優(yōu)秀的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)（I）（Ⅱ）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)也優(yōu)秀？

附：①若~，則，；

②；

③

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)有8人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)有10人. (Ⅱ)見(jiàn)解析.( Ⅲ) 沒(méi)有99%以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)也優(yōu)秀.

【解析】

（I）語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的 原則可得語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率及人數(shù)；根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖可以計(jì)算數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率及人數(shù)；（Ⅱ）語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科成績(jī)都優(yōu)秀的共有4人，則語(yǔ)文單科優(yōu)秀的4人，數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀的6人，即單科優(yōu)秀的共10人，隨機(jī)抽取3人，3人中兩科都優(yōu)秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出每種情況的概率，即可寫(xiě)出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）先填寫(xiě)列聯(lián)表，利用公式求出 的值比較它與6.635的大小即可。

（Ⅰ）∵語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，

∴語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為，

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為，

∴語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)有人，

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)有人.

（Ⅱ）語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有10人，

的所有可能取值為0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列為：

.

（Ⅲ）列聯(lián)表：

∴.

∴沒(méi)有99%以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)也優(yōu)秀.