Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，若存在正實數(shù)m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，則稱h（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)．若．
（1）判斷函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是否為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，請說明理由．
（2）記G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，若，且G（x）的最大值為，求G（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）若函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，
則存在正實數(shù)m，n使得sinkx=恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0這個條件，
故函數(shù)y=sinkx，（k∈R）不是為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，
（2）∵G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，若，
則存在正實數(shù)m，n使得G（x）=恒成立，
且，即：m+n=2，
故G（x）==
=
令sin=t，則G（x）=-2nt²+（2-n）t+n，
根據(jù)其G（x）的最大值為，
得到：n=1 或
代入m+n=2，得

故G（x）的解析式為：G（x）=或G（x）=．
分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，則存在正實數(shù)m，n使得sinkx=恒成立，通過取特殊值得出矛盾，從而解決問題；
（2）由于G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，則存在正實數(shù)m，n使得G（x）=恒成立，
再結(jié)合題中條件得出關(guān)于m，n 的方程，即可求得m，n，從而得到代G（x）的解析式．
點評：本小題主要考查函數(shù)的值域、函數(shù)恒成立問題、三角變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．