Question

已知直線l：x=my+1過橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D，K，E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，證明：；
（3）連接AE，BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給出證明；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件能夠求出c、b=，從而求出橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，即可證得結(jié)論；
（3）由題設(shè)條件證明點(diǎn)N（，0）在既直線AE上，又在直線BD上，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c=1，
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，），∴b=
∴b²=3
∴a²=b²+c²=4
∴橢圓C：…（3分）
（2）證明：由題意，m≠0，，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴…（6分）
又由得：，
∴…（8分）
（3）解：m=0時(shí)，得N（，0），猜想：m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)N（，0），
由（2）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）于是 D（4，y₁），E（4，y₂），
先證直線AE過定點(diǎn)N：直線AE的方程為：
當(dāng)x=時(shí)
所以，點(diǎn)N在直線AE上，同理可得點(diǎn)N在直線BD上．
即m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)N（，0）…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓的綜合應(yīng)用題，有一定的難度．考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線和直線之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力．